work on には「…に取り組む」という意味があります。「何とかがんばってみるから、任せてほしい」という気持ちが込められたフレーズです。ほかには、I’ll try. / I’ll think of some way. などがあります。
＜SKIT＞
A: Do you think you can get him to agree?
B: I’ll work on it.
　　A: あなた、彼を同意させることができると思う？
　　B: やってみるよ。
『英会話お決まり表現160』
（マクミラン・ランゲージハウス　浦島久、クライド・ダブンポート共著）より